【中3数学】(a＋b)^2＝65、ab＝16 のとき a^2＋b^2 の値は？展開したら負けの超難問？

今日の1問は、「展開したら負け」の中3数学です。
a と b を求めようとせず、公式をうまく使えば3秒で解けます♪

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今日の問題

(a ＋ b)² ＝ 65、ab ＝ 16 のとき、a² ＋ b² の値を求めよ。

a と b の値を求める必要はありません。

(a ＋ b)² を展開すると、a² ＋ b² と ab が出てきます。

ステップ1　(a＋b)² を展開する

(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²

ステップ2　a² ＋ b² を取り出す

a² ＋ b² ＝ (a ＋ b)² − 2ab

ステップ3　数を入れる

a² ＋ b² ＝ 65 − 2 × 16 ＝ 65 − 32 ＝ 33

ステップ4　確かめる

(a − b)² ＝ (a ＋ b)² − 4ab ＝ 65 − 64 ＝ 1 なので、a − b ＝ ±1 で、a と b は実際に存在します。

(a ＋ b)² ＋ (a − b)² ＝ 2(a² ＋ b²) なので、a² ＋ b² ＝ (65 ＋ 1) ÷ 2 ＝ 33 となり、同じ答えです。

a と b の値を求めなくても答えが出ます。

「a ＋ b」と「ab」が分かっているときは、a² ＋ b² や (a − b)² が、展開公式からすぐ求められます。

展開公式 (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² を、「向きを変えて」使うのがコツです。

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投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。