今日の1問は、「99%が途中で止まる？」高校数学です。
x の2次方程式とみて、判別式に注目すると道が開けます♪
今日の問題
x2 − 3xy ＋ 4y2 − 5x − 5y ＝ 2025、x ＜ y を満たす整数 x, y をすべて求めよ。
まずヒント
x と y のどちらかを文字として固定し、もう一方の2次方程式とみます。
整数の解がある → 判別式が平方数、という条件が使えます。
解き方
ステップ1 x の2次方程式とみる
x2 − (3y ＋ 5)x ＋ (4y2 − 5y − 2025) ＝ 0
ステップ2 判別式を計算する
D ＝ (3y ＋ 5)2 − 4(4y2 − 5y − 2025) ＝ −7y2 ＋ 50y ＋ 8125
x が整数になるには、D が 0 以上の平方数でなければなりません。
ステップ3 y の範囲をしぼる
D ≧ 0 より 7y2 − 50y − 8125 ≦ 0。これを解くと −30.7… ≦ y ≦ 37.8… なので、y は −30 から 37 までの整数です。
ステップ4 D が平方数になる y を探す
この範囲で D が平方数になるのは y ＝ −25 のときだけです（D ＝ −4375 − 1250 ＋ 8125 ＝ 2500 ＝ 502）。
ステップ5 x を求める
x ＝ {(3y ＋ 5) ± 50} ÷ 2 ＝ (−70 ± 50) ÷ 2 ＝ −10、−60。
x ＜ y ＝ −25 を満たすのは x ＝ −60 です。
ステップ6 確かめる
x ＝ −60、y ＝ −25 を代入すると、3600 − 4500 ＋ 2500 ＋ 300 ＋ 125 ＝ 2025 になり、条件を満たします。
答え
(x, y) ＝ (−60, −25)
これだけです。
ひらめきで解く方法
整数解の問題では、「ある文字について整理して判別式を調べる」のが定番の手です。
判別式が「平方数でなければならない」という条件と、「0 以上」という条件で、候補がぐっと減ります。
間違えやすいところ
- x ＜ y の条件を忘れて、(−10, −25) も答えにしない
- 判別式の計算では、符号と 4 倍を落としやすい
- D ≧ 0 から y の範囲をしぼってから調べないと、候補が多すぎて止まってしまう
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