【中3数学】100より大きく200より小さい整数で、約数がちょうど12個の数は何個？約数を極めた人だけが解ける超難問？

今日の1問は、約数を極めた人だけが解ける中3数学の超難問？
総当たりでも解けますが、規則性に気づくと一気に見えてきます♪

今日の問題

100 より大きく 200 より小さい整数のうち、正の約数をちょうど 12 個もつ数は全部で何個あるか。

まずヒント

約数の個数は、素因数分解の指数を使って求められます。

12 を「かけ算の形」に分けると、数の形が決まります。

解き方

ステップ1　約数の個数の公式

n ＝ p^a × q^b × r^c と素因数分解できるとき、約数の個数は (a ＋ 1)(b ＋ 1)(c ＋ 1) 個です。

ステップ2　12 をかけ算に分ける

12 ＝ 12 ＝ 6 × 2 ＝ 4 × 3 ＝ 3 × 2 × 2 です。ここから、n の形は次の4つに絞れます。

ステップ3　形ごとに調べる

p¹¹ 型：2¹¹ ＝ 2048 は大きすぎて、条件に合いません。
p⁵ × q 型：2⁵ × 5 ＝ 160 だけが入ります。
p³ × q² 型：3³ × 2² ＝ 108 だけが入ります（2³ × 5² ＝ 200 は「200より小さい」に合いません）。
p² × q × r 型：132、156（2² × 3 × 11、2² × 3 × 13）、140（2² × 5 × 7）、126、198（3² × 2 × 7、3² × 2 × 11）、150（5² × 2 × 3）が入ります。

ステップ4　数える

条件に合う数は 108、126、132、140、150、156、160、198 です。

答え

8個

108、126、132、140、150、156、160、198 の8個です。

ひらめきで解く方法

まず約数の個数 12 を「かけ算の形」に分けて、素因数分解の形を決めてしまうのがコツです。

形が決まれば、100 から 200 の範囲に入る数だけを拾えば終わりです。

間違えやすいところ

• 200 そのもの（2³ × 5²）は「200より小さい」に入らない
• p² × q × r 型では、素数の組み合わせをもれなく調べる
• 約数の個数は、指数に 1 を足してかけるのを忘れない

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