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今日の1問は、中3数学。一見すると情報が足りなそうですが、60°と二等辺三角形の関係に気づくと一瞬で解ける？♪
今日の問題
三角形 ABC で、∠A ＝ 60°、AB ＝ AC である。BC ＝ 8 のとき、三角形 ABC の面積を求めよ。
まずヒント
AB ＝ AC なので、三角形 ABC は二等辺三角形です。
底角（∠B と ∠C）を求めてみましょう。
解き方
ステップ1 底角を求める
AB ＝ AC より ∠B ＝ ∠C です。三角形の内角の和は 180° なので、∠B ＋ ∠C ＝ 180° − 60° ＝ 120°、よって ∠B ＝ ∠C ＝ 60° です。
ステップ2 正三角形だと分かる
3つの角がすべて 60° なので、三角形 ABC は正三角形です。よって AB ＝ AC ＝ BC ＝ 8 です。
ステップ3 高さを求める
BC の中点を M とすると、AM は BC に垂直で、BM ＝ 4 です。三平方の定理より、AM ＝ √(82 − 42) ＝ √48 ＝ 4√3 です。
ステップ4 面積を求める
面積 ＝ 8 × 4√3 ÷ 2 ＝ 16√3 です。
答え
16√3
一辺が 8 の正三角形の面積です。
ひらめきで解く方法
「頂角が 60° の二等辺三角形は、正三角形」と覚えておくと一瞬？
一辺が a の正三角形の面積は (√3/4) × a2 です。a ＝ 8 を入れると、(√3/4) × 64 ＝ 16√3 になります。
間違えやすいところ
- ∠A ＝ 60° だけでは正三角形と言えない（AB ＝ AC もあるから正三角形になる）
- √48 ＝ 4√3 の簡単な形に直すのを忘れない
- 三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で、÷ 2 を忘れない
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