【Instagram35万回再生】【中3数学】異なる正の整数 a，b，c が a＋b＋c＝30 のとき、(a−b)^2＋(b−c)^2＋(c−a)^2 の最小値は？

この問題は、Instagramのリールで35万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、中3数学。差の2乗の和を、整数の「間隔」から考える問題です。計算は驚くほど短く済みます♪

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今日の問題

a，b，c は異なる正の整数で、a ＋ b ＋ c ＝ 30 を満たす。このとき、(a − b)² ＋ (b − c)² ＋ (c − a)² の最小値を求めよ。

a，b，c の大小を決めて考えると、差の大きさが見えてきます。

整数で、しかも異なるので、差は最低でもいくつになるでしょうか。

ステップ1　大小を決める

式は a，b，c を入れ替えても変わらないので、a ＜ b ＜ c としてかまいません。

ステップ2　差の最小を考える

整数で互いに異なるので、b − a ≧ 1，c − b ≧ 1 です。したがって c − a ≧ 2 です。

ステップ3　下限を求める

(a − b)² ＋ (b − c)² ＋ (c − a)² ≧ 1² ＋ 1² ＋ 2² ＝ 6 です。

ステップ4　等号が成り立つか確かめる

等号は b − a ＝ 1，c − b ＝ 1、つまり a，b，c が連続する整数のときです。a ＋ b ＋ c ＝ 30 より 3b ＝ 30，b ＝ 10 なので、(a, b, c) ＝ (9, 10, 11) で実現できます。

(a, b, c) ＝ (9, 10, 11) のとき

合計 30 を 3 等分すると 10 ずつになりますが、「異なる」という条件があるので、10 を真ん中にして 1 つずつずらした 9，10，11 になります。

数直線上に 3 つの整数を並べて、「できるだけ近づける」とイメージすると、計算せずに答えが見えます。

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投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。