今日の1問は、分数と平方根がずらっと並んだ問題です。
見た目はゴチャゴチャですが、ある変形で一気にスッキリします♪
今日の問題
次の値を求めよ。1/(1＋√2) ＋ 1/(√2＋√3) ＋ 1/(√3＋√4) ＋ … ＋ 1/(√99＋√100)
まずヒント
分母に平方根がある分数は、「有理化」で分母から平方根を消せます。
1/(√k＋√(k＋1)) の分母と分子に、(√(k＋1) − √k) をかけてみましょう。
解き方
ステップ1 1つ分を有理化する
1/(√k ＋ √(k＋1)) の分母と分子に (√(k＋1) − √k) をかけます。
分母は (√(k＋1) ＋ √k)(√(k＋1) − √k) ＝ (k＋1) − k ＝ 1 になるので、√(k＋1) − √k になります。
ステップ2 全部を差の形で書く
(√2 − √1) ＋ (√3 − √2) ＋ (√4 − √3) ＋ … ＋ (√100 − √99)
ステップ3 途中の項を消す
−√2 と ＋√2、−√3 と ＋√3 …と、となり合う項が打ち消し合います。
残るのは √100 − √1 だけです。
ステップ4 計算する
√100 ＝ 10、√1 ＝ 1 なので、10 − 1 ＝ 9 です。
答え
9
ごちゃごちゃした100個ほどの項が、10 − 1 という引き算になります。
ひらめきで解く方法
最初の項だけ確かめると安心です。1/(1＋√2) の分母を有理化すると √2 − 1 になり、ステップ1の形と一致します。
「分母が √a ＋ √b の形」を見たら、すぐ有理化。差がちょうど 1 になるので、消える形になります。
間違えやすいところ
- 有理化では、分母が (√(k＋1) ＋ √k) のとき、かける数は (√(k＋1) − √k)（符号を逆にする）
- 項の数をまちがえない（最後は √99 ＋ √100 の項まで）
- √100 ＝ 10、√1 ＝ 1 を忘れない
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