【Instagram14万回再生】【中3数学】n^2＋63 が平方数になる自然数 n はいくつある？「平方数の差」に気づけるか

この問題は、Instagramのリールで14万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、中3数学。「平方数の差」に気づけると一気に解けます♪

今日の問題

n² ＋ 63 が平方数になるような自然数 n は、いくつあるか。

まずヒント

n² ＋ 63 ＝ m² とおいて、63 を右辺に移してみましょう。

「2乗 − 2乗」は因数分解できます。

解き方

ステップ1　式を立てる

n² ＋ 63 ＝ m²（m は自然数）とおきます。

ステップ2　因数分解する

m² − n² ＝ 63 より、(m − n)(m ＋ n) ＝ 63 です。

ステップ3　63 の約数の組を調べる

m − n ＜ m ＋ n なので、積が 63 になる組は (1, 63)、(3, 21)、(7, 9) の3通りです。

ステップ4　n を求める

m − n ＝ 1、m ＋ n ＝ 63 のとき m ＝ 32、n ＝ 31。
m − n ＝ 3、m ＋ n ＝ 21 のとき m ＝ 12、n ＝ 9。
m − n ＝ 7、m ＋ n ＝ 9 のとき m ＝ 8、n ＝ 1。

ステップ5　確かめる

31² ＋ 63 ＝ 961 ＋ 63 ＝ 1024 ＝ 32²、9² ＋ 63 ＝ 81 ＋ 63 ＝ 144 ＝ 12²、1² ＋ 63 ＝ 64 ＝ 8² です。

答え

3個

n ＝ 1、9、31 の3個です。

ひらめきで解く方法

平方数の差は、(差)(和) の形に因数分解できます。あとは約数の組を調べるだけです。

m − n と m ＋ n は偶数・奇数が同じなので、63 が奇数なら両方とも奇数、と考えると組を絞りやすくなります。

間違えやすいところ

• (m − n) は (m ＋ n) より小さい組だけを考える（(63, 1) だと n が負になる）
• n は自然数なので、0 や負の数は除く
• 63 の約数（1、3、7、9、21、63）をもれなく書き出す

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