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今日の1問は、高校数学の超難問？見た目はただの2次式ですが、ある変形をすると、驚くほどきれいに解けます♪
今日の問題
整数 x, y について、次の方程式を満たす整数解 (x, y) を求めよ。
218x2 − 24xy ＋ 146y2 − 652072x ＋ 371628y ＋ 681498722 ＝ 0
まずヒント
まず、2次の部分 218x2 − 24xy ＋ 146y2 を、2乗の和の形にできないか考えます。
2乗の和が 0 になるなら、2つの2乗がどちらも 0 です。
解き方
ステップ1 2次の部分を2乗の和にする
218x2 − 24xy ＋ 146y2 ＝ 2{(10x − 3y)2 ＋ (3x ＋ 8y)2} です。（109 ＝ 102 ＋ 32、73 ＝ 32 ＋ 82 に注目します。）
ステップ2 文字をおきかえる
u ＝ 10x − 3y、v ＝ 3x ＋ 8y とおきます。これを解くと、x ＝ (8u ＋ 3v) ÷ 89、y ＝ (−3u ＋ 10v) ÷ 89 です。
ステップ3 1次の部分を u, v で表す
−652072x ＋ 371628y ＝ (−6331460u ＋ 1760064v) ÷ 89 ＝ −71140u ＋ 19776v となります。
ステップ4 方程式を整理する
2(u2 ＋ v2) − 71140u ＋ 19776v ＋ 681498722 ＝ 0 の両辺を 2 で割ると、u2 ＋ v2 − 35570u ＋ 9888v ＋ 340749361 ＝ 0 です。
ステップ5 平方完成する
(u − 17785)2 ＋ (v ＋ 4944)2 ＝ 177852 ＋ 49442 − 340749361 です。177852 ＝ 316306225、49442 ＝ 24443136 で、足すと 340749361 なので、右辺は 0 になります。
ステップ6 u, v を決める
実数の2乗の和が 0 になるのは、u − 17785 ＝ 0 かつ v ＋ 4944 ＝ 0 のときだけです。よって u ＝ 17785、v ＝ −4944 です。
ステップ7 x, y にもどす
x ＝ (8 × 17785 ＋ 3 × (−4944)) ÷ 89 ＝ 127448 ÷ 89 ＝ 1432、y ＝ (−3 × 17785 ＋ 10 × (−4944)) ÷ 89 ＝ −102795 ÷ 89 ＝ −1155 です。
ステップ8 確かめる
x ＝ 1432、y ＝ −1155 を元の式に代入すると、左辺がちょうど 0 になります。
答え
(x, y) ＝ (1432, −1155)
解はこの1組だけです。
ひらめきで解く方法
2次の部分の係数 109 と 73 が、それぞれ 2つの平方数の和（100 ＋ 9、9 ＋ 64）になっていることに気づくのが最大のひらめきです。
「2乗の和 ＝ 0」の形にできれば、整数かどうかを調べなくても、解が1組に決まります。
間違えやすいところ
- 数が大きいので、計算の1つ1つを検算しながら進める
- u, v から x, y にもどすときは、89 で割り切れることを確かめる
- 「2乗の和が 0」なら、2つの2乗がどちらも 0 になる
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