この問題は、Instagramのリールで25万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、高1数学。条件式も求める式も、x＋y と xy で表すのが第一歩。高1で習う相加相乗平均が活躍します♪
今日の問題
実数 x，y が x2 ＋ y2 ＋ xy ＝ 7 を満たすとき、(x ＋ y)(x2 − xy ＋ y2) の最大値と最小値を求めよ。
まずヒント
x ＋ y ＝ s，xy ＝ p とおいて、条件式も求める式も s と p で表してみましょう。
最後は相加相乗平均の関係が使えます。
解き方
ステップ1 s と p で表す
s ＝ x ＋ y，p ＝ xy とおくと、条件式は x2 ＋ y2 ＋ xy ＝ s2 − p ＝ 7 より p ＝ s2 − 7 です。求める式は x3 ＋ y3 ＝ s3 − 3sp ＝ s3 − 3s(s2 − 7) ＝ s(21 − 2s2) です。
ステップ2 s の範囲を求める
x，y が実数なので s2 − 4p ≧ 0 です。p ＝ s2 − 7 を代入すると s2 − 4(s2 − 7) ≧ 0 となり、s2 ≦ 28/3 です。
ステップ3 2乗して扱いやすくする
f ＝ s(21 − 2s2) とおき、t ＝ s2（0 ≦ t ≦ 28/3）とすると、f2 ＝ t(21 − 2t)2 です。
ステップ4 相加相乗平均を使う
4t，21 − 2t，21 − 2t はすべて 0 以上で、和は 42 です。相加相乗平均より 4t(21 − 2t)2 ≦ (42/3)3 ＝ 143 ＝ 2744 なので、f2 ≦ 686 ＝ 49 × 14 です。よって −7√14 ≦ f ≦ 7√14 とわかります。
ステップ5 等号が成り立つか確かめる
等号は 4t ＝ 21 − 2t、つまり t ＝ 7/2 のときで、t ≦ 28/3 を満たします。s ＝ ±√(7/2) のとき p ＝ s2 − 7 ＝ −7/2 で、s2 − 4p ＝ 7/2 ＋ 14 ＞ 0 なので x，y は実数です。このとき f ＝ s(21 − 7) ＝ 14s ＝ ±7√14 になります。
答え
最大値 7√14，最小値 −7√14
x ＋ y ＝ √14/2 のとき最大、x ＋ y ＝ −√14/2 のとき最小です。
ひらめきで解く方法
(x ＋ y)(x2 − xy ＋ y2) は x3 ＋ y3 の因数分解そのものです。対称式は「x ＋ y と xy」で表すのが基本です。
x，y の符号をまとめて反転しても条件式は変わらず、求める式の値だけが −1 倍になります。だから最小値は、最大値の符号を変えたものになります。
間違えやすいところ
- x，y が実数という条件から s の範囲（s2 ≦ 28/3）を求めるのを忘れる。
- x3 ＋ y3 ＝ s3 − 3sp の「3sp」を落としてしまう。
- 相加相乗平均の等号条件（4t ＝ 21 − 2t）を確かめずに、最大値としてしまう。
計算や式でつまずいたら
今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。
「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。
毎日1問、出しています
動画は毎日更新中です。
明日の1問もお楽しみに♪
自作の数学問題、投稿してみませんか？
あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。
👉 問題を投稿する
コメント