今日の1問は、中学数学だけで挑戦できる整数問題です。
最小値が分かっただけでは終わりません。その先まで考えられるかがポイントです♪
今日の問題
正の整数 a、b が 1/a ＋ 1/b ＝ 1/48 を満たしている。このとき、a ＋ b の2番目に小さい値を求めよ。
まずヒント
まず、分数をなくすために、両辺に 48ab をかけてみましょう。
そうすると、(a − 48)(b − 48) の形にまとめられます。
解き方
ステップ1 分数をなくす
両辺に 48ab をかけると 48b ＋ 48a ＝ ab。
ab − 48a − 48b ＝ 0 です。
ステップ2 積の形にする
両辺に 482 ＝ 2304 を足すと、ab − 48a − 48b ＋ 2304 ＝ 2304。
左辺は (a − 48)(b − 48) と因数分解できるので、(a − 48)(b − 48) ＝ 2304 です。
ステップ3 a − 48 と b − 48 の候補
a − 48 と b − 48 が両方とも負だとすると、どちらも絶対値が 47 以下で、積は 2209 以下になり 2304 に届きません。
なので、a − 48 と b − 48 はどちらも正の整数で、積が 2304 ＝ 28 × 32 になります。
ステップ4 a ＋ b を約数で表す
a ≦ b として、a − 48 ＝ d（d は 2304 の約数で d ≦ 48）とおくと、b − 48 ＝ 2304/d で、a ＋ b ＝ 96 ＋ d ＋ 2304/d です。
d ＝ 48：a ＋ b ＝ 96 ＋ 48 ＋ 48 ＝ 192（a ＝ b ＝ 96）
d ＝ 36：a ＋ b ＝ 96 ＋ 36 ＋ 64 ＝ 196（a ＝ 84、b ＝ 112）
d ＝ 32：a ＋ b ＝ 96 ＋ 32 ＋ 72 ＝ 200
ステップ5 順番を決める
d ＋ 2304/d は、d が 48 に近いほど小さくなります。2304 の約数で 48 に近いのは 48、36、32、…の順です。
よって、いちばん小さい値は 192、2番目に小さい値は 196 です。
答え
196
(a, b) ＝ (84, 112) のときです。（最小は (96, 96) の 192）
ひらめきで解く方法
「1/a ＋ 1/b ＝ 1/n」の形は、(a − n)(b − n) ＝ n2 と変形するのが定石です。
a ＋ b は、約数の組が「正方形に近い」ほど小さくなります。今回は 48 × 48 が最小、次に 36 × 64 です。
間違えやすいところ
- 最小値の 192 で止めずに、「2番目」まで考えます
- a ＝ b ＝ 96 の組も、1つの組として数えます（2番目は別の値です）
- (a − 48)(b − 48) ＝ 2304 であって、48 ではありません
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