【中3数学】ab＝2026で a^2＋b^2＝1026173 となる整数の組は存在する？｜解き方を解説

今日の1問は、整数の問題です。
「存在するか」と聞かれたら、実際に作れるかを考えるのがコツ♪

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今日の問題

整数 a, b が ab ＝ 2026 を満たしている。このとき a² ＋ b² ＝ 1026173 となる組は存在するか。

整数a,bがab=2026を満たすとき、a²+b²=1026173となる組が存在するかを問う問題の図

まずヒント

a² ＋ b² と ab が分かっているときは、(a＋b)² と (a−b)² を作ってみましょう。

どちらも「a² ＋ b²」に「2ab」を足すか引くかで求められます。

解き方

ステップ1　(a＋b)² を求める

(a＋b)² ＝ a² ＋ b² ＋ 2ab ＝ 1026173 ＋ 2 × 2026 ＝ 1030225

1015² ＝ 1030225 なので、a＋b ＝ ±1015 です。

ステップ2　(a−b)² を求める

(a−b)² ＝ a² ＋ b² − 2ab ＝ 1026173 − 4052 ＝ 1022121

1011² ＝ 1022121 なので、a−b ＝ ±1011 です。

ステップ3　a, b を求める

a＋b ＝ 1015、a−b ＝ 1011 のとき、足して2で割ると a ＝ 1013、引いて2で割ると b ＝ 2。

符号の組み合わせを変えると、(2, 1013)、(−1013, −2)、(−2, −1013) も出ます。

ステップ4　確かめる

1013 × 2 ＝ 2026。1013² ＝ 1026169、2² ＝ 4 なので、合計は 1026173。条件にぴったり合います。

答え

存在する

(a, b) ＝ (1013, 2)、(2, 1013)、(−1013, −2)、(−2, −1013) の4組です。

ひらめきで解く方法

2026 ＝ 2 × 1013 で、1013 は素数です。だから ab ＝ 2026 になる整数は、1 と 2026、2 と 1013（と、符号を逆にした組、入れ替えた組）しかありません。

1² ＋ 2026² ＝ 4104677 は 1026173 と違います。2² ＋ 1013² ＝ 4 ＋ 1026169 ＝ 1026173 なので、(2, 1013) が見つかります。

候補を全部書き出せば、計算が少ないのもこの問題の面白いところです。

間違えやすいところ

(a＋b)² は 2ab を「足す」、(a−b)² は 2ab を「引く」。
平方根をとるときは、プラスとマイナスの両方を考える（a＋b ＝ ±1015）。
a, b が整数になるには、a＋b と a−b の偶奇がそろう必要がある（今回はどちらも奇数でOK）。
組を数えるときは、入れ替えた組と、符号を逆にした組も忘れない。

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