今日の1問は、条件がたった1つの最大値の問題です。
計算力よりも、「どう考えるか」が勝負の1問です♪
今日の問題
正の整数 a、b、c が a ＋ b ＋ c ＝ 30 を満たしている。このとき、ab ＋ bc ＋ ca の最大値を求めよ。
まずヒント
(a ＋ b ＋ c)2 を展開してみましょう。
ab ＋ bc ＋ ca と a2 ＋ b2 ＋ c2 が、どちらも出てきます。
解き方
ステップ1 (a＋b＋c)2 を展開する
(a ＋ b ＋ c)2 ＝ a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ 2(ab ＋ bc ＋ ca)
a ＋ b ＋ c ＝ 30 なので、左辺は 900 です。
ステップ2 求めたい式を取り出す
ab ＋ bc ＋ ca ＝ (900 − (a2 ＋ b2 ＋ c2)) ÷ 2
ab ＋ bc ＋ ca を最大にするには、a2 ＋ b2 ＋ c2 を最小にすればよいことが分かります。
ステップ3 平方の和が最小になるとき
(a − 10)2 ＋ (b − 10)2 ＋ (c − 10)2 ＝ a2 ＋ b2 ＋ c2 − 20(a ＋ b ＋ c) ＋ 300 ＝ a2 ＋ b2 ＋ c2 − 300
左辺は 0 以上なので、a2 ＋ b2 ＋ c2 は 300 以上です。等号は a ＝ b ＝ c ＝ 10 のときに成り立ちます。
ステップ4 最大値を求める
a ＝ b ＝ c ＝ 10 のとき、ab ＋ bc ＋ ca ＝ 100 ＋ 100 ＋ 100 ＝ 300 です。
たとえば a ＝ 9、b ＝ 10、c ＝ 11 だと 90 ＋ 110 ＋ 99 ＝ 299 で、300 より小さくなります。
答え
300
a ＝ b ＝ c ＝ 10 のとき、最大値 300 になります。
ひらめきで解く方法
合計が決まっているとき、3つの数がなるべく同じ値に近いほど、ab ＋ bc ＋ ca は大きくなります。30 を3等分すると 10 ずつなので、ちょうど割り切れる今回は 10、10、10 が最大です。
「合計が決まった数の積や積の和は、等しいときが最大」という考え方は、いろいろな問題で使えます。
間違えやすいところ
- a、b、c が整数でも、3等分できるなら 10、10、10 が答えです（できない場合は 10 に近い整数の組を考えます）
- 最大にしたいのは ab ＋ bc ＋ ca ですが、平方の和は「最小」にする点に注意します
- a ＝ 28、b ＝ 1、c ＝ 1 のように極端な組を試すと、値がとても小さいことが分かります
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