今日の1問は、2026を使った中2数学の難問です。
数を探し続ける前に、あることに気づけば一瞬で決まる？♪
今日の問題
整数 a, b が a2 − b2 ＝ 2026 を満たすことはあるか。「存在する」か「存在しない」か答えよ。
まずヒント
左辺は (a − b)(a ＋ b) と因数分解できます。
a − b と a ＋ b の偶数・奇数の関係に注目しましょう。
解き方
ステップ1 因数分解する
(a − b)(a ＋ b) ＝ 2026 です。
ステップ2 偶奇をそろえる
(a ＋ b) − (a − b) ＝ 2b は偶数なので、a − b と a ＋ b は、どちらも偶数か、どちらも奇数のどちらかです。
ステップ3 どちらの場合か調べる
どちらも奇数なら、積は奇数になります。2026 は偶数なので合いません。
どちらも偶数なら、積は 4 の倍数になります。ところが 2026 ＝ 4 × 506 ＋ 2 で、4 の倍数ではありません。
ステップ4 結論
どちらの場合も 2026 になれないので、条件を満たす整数 a, b はありません。
答え
存在しない
a2 − b2 ＝ 2026 を満たす整数 a, b はありません。
ひらめきで解く方法
整数の2乗を 4 で割った余りは、0 か 1 のどちらかです。
すると a2 − b2 を 4 で割った余りは 0、1、3 のどれかになり、2 は出てきません。2026 を 4 で割った余りは 2 なので、すぐに「存在しない」と分かります。
間違えやすいところ
- 数を探し続けて時間を使わない（探す前に偶奇や余りで判断する）
- a − b と a ＋ b の偶奇がそろうことを忘れない
- 2026 は偶数だが、4 の倍数ではない
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